Transformasi Geometri

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.

Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam : 

       1.      Pergeseran (Translasi)

Translasi adalah suatu pergerakan/perpindahan semua titik dari objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru. Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau Vektor Geser. Pergeseran tersebut dapat ditulis :

Untuk merepresentasikan translasi dalam matriks 3×3 kita dapat menulisnya :

 

  Sifat -sifat translasi

• Dua buah translasi berturut-turut   a  diteruskan dengan
                                                  b
  dapat digantikan dengan  c  translasi tunggal  a + c
                                     d                         b + d
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. 

2.   Pencerminan (Refleksi)

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.

Sifat - Sifat Pencerminan

         Dalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut :

1. Jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin.

2. Garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin.

3.Setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang

4. Setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen

Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1

3. Perputaran (Rotasi)

Rotasi adalah mereposisi semua titik dari objek sepanjang jalur lingkaran dengan pusatnya pada titik pivot.

Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan matriks:

Dimana :
- sin(θ) dan cos(θ) adalah fungsi linier dari θ,
- x’ kombinasi linier dari x dan y
– y’ kombinasi linier dari x and y 

  

 Sifat - sifat rotasi
a. Dua rotasi berturut-turut merupakan rotasi lagi dengan sudut putar sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
b. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri. 

  

4. Perkalian (Dilatasi)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.

 

Sifat - sifat dilatasi

• invers dari dilatasi AB --> A' B' adalah A' B' --> AB
• Dilatasi mempertahankan urutan, tetapi tidak mempertahankan ukuran.
• Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang di lanjutkan dengan dilatasi yang lain.
  berarti, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' adalah dilatasi AB--> A''B''
• Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB-->AB
• Garis garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis garis invariant. Garis garis itu berpotongan pada satu titik atau sejajar